Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur dans un triangle quand deux droites sont parallèles.
L'énoncé
Soit un triangle ABC, M un point de [AB] et N un point de [AC]. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AM/AB = AN/AC = MN/BC
Les trois rapports sont égaux : (petit triangle) / (grand triangle).
Exemple
(MN) // (BC), AM = 2 cm, AB = 5 cm et MN = 3 cm. Calculer BC.
D'après le théorème de Thalès : AM/AB = MN/BC, soit 2/5 = 3/BC. Produit en croix : BC = 5 × 3 ÷ 2 = 15 ÷ 2 = 7,5 cm. Vérification : 2/5 = 0,4 et 3/7,5 = 0,4.
La méthode
- Je vérifie que les droites sont parallèles et je repère le sommet commun (ici A).
- J'écris l'égalité des rapports, en choisissant ceux où il y a les longueurs connues et l'inconnue.
- Je remplace par les valeurs.
- J'utilise le produit en croix pour trouver la longueur manquante.
Attention
- Garde les rapports dans le même sens : petit sur grand (AM/AB, MN/BC), jamais un petit sur grand et un grand sur petit.
- Le théorème ne s'applique que si les droites sont parallèles.
- Au dénominateur, on met la longueur du grand côté entier (AB), pas seulement la partie restante (MB).
Démonstration pas à pas
Exemple : Les points M ∈ [AB] et N ∈ [AC] sont tels que (MN) // (BC). On sait que AM = 7 cm, AB = 28 cm et MN = 7 cm. Calcule BC.
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Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
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Produit en croix : BC = AB × MN ÷ AM = 28 × 7 ÷ 7 = 28 cm.