Les identités remarquables

Les identités remarquables sont trois égalités, vraies pour tous nombres a et b, qui permettent de développer rapidement.

Les trois formules

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²

Dans les deux premières, 2ab est le double produit.

Exemples

• (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9.
• (x − 5)² = x² − 2 × x × 5 + 5² = x² − 10x + 25.
• (x + 4)(x − 4) = x² − 4² = x² − 16.
• Calcul mental : 31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961.

La méthode

1. Je reconnais la forme : carré d'une somme, carré d'une différence ou produit (somme)(différence).
2. J'identifie a et b.
3. J'écris la formule en remplaçant a et b, puis je calcule chaque terme.
4. Je réduis le résultat.

Attention

• (a + b)² n'est pas égal à a² + b² : il manque le double produit 2ab.
• Dans (x − 5)², le dernier terme est + 25 (car (−5)² = 25) et le double produit est −10x.
• Dans (x + 4)(x − 4), il n'y a pas de terme en x : il disparaît.